Logarytmy w chemii

0. Logarytmy w chemii

Wiem, że dużo osób ma problem z logarytmami (sam też go miałem), ponieważ zabieramy się za nie bardzo często zanim jeszcze pojawią się one w szkole na lekcjach matmy. Wychodzi wtedy na to, że uczymy się ich na pamięć na zasadzie : skoro pH wynosi 10, to stężenie jonów wodorowych wynosi  \displaystyle [H^{+}] = 10^{-10} . Wszystko to jednak potem się robi takie intuicyjne i w głębi duszy wiemy, że nie bardzo rozumiemy temat i po to właśnie jest ten artykuł. Oczywiście całość jest zrobiona pod kątem chemicznym, dlatego też będziemy działać na wzorach, które pojawiają się w chemii.

Jest to temat dodatkowy, przerabiaj go tylko jeśli masz na to ochotę. Kiedy w następnym poście poznamy definicję pH, to tam pokażę jak korzystać z tablic maturalnych i obliczać logarytmy w chemii.


1.  Funkcja wykładnicza

Zanim zaczniemy logarytmy, przypomnimy sobie funkcję wykładniczą. Pewnie w codziennym życiu spotkaliście się już ze sformułowaniem ,,wzrost wykładniczy” , a to nawet przy okazji tempa rozprzestrzeniania się koronawirusa. Takie określenie oznacza po prostu bardzo szybki (gwałtowny) wzrost.

Rozpatrzmy proces rozpadu promieniotwórczego uranu-235. Każdy taki rozpad jest związany w emitowaniem (tworzeniem) trzech neutronów. Zobaczmy jak szybko rośnie liczba neutronów. Tak, rośnie ona wykładniczo.

Uran235 logarytmiczny wykładniczy wzrost.jpg
Wykładniczy wzrost

Zatem liczba neutronów wynosi 1, 3, następnie 9. Nietrudno ustalić, że następną liczbą w takim szeregu byłoby 27, potem 81 i tak dalej. Możemy to wyrazić za pomocą funkcji wykładniczej :

\displaystyle y = a ^{x}     w naszym przypadku  :  \displaystyle y = 3^{x}

Wykres funkcji wykładniczej 3^x.jpg
Wykres funkcji wykładniczej

Zwróćmy uwagę na kilka cech charakterystycznych tego wykresu :

  • wykres przechodzi przez punkt (0,1) , ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi jeden. W naszym przypadku :    \displaystyle 3^{0} = 1)
  • wartości  \displaystyle y   są małe oraz dodatnie jeśli  \displaystyle x < 0   , np.  \displaystyle 3^{-3} = 0,037
  • wartości  \displaystyle y   są duże oraz dodatnie jeśli  \displaystyle x >0    , np.  \displaystyle 3^{3} = 27
  • w pewnym momencie wykres funkcji idzie mocno do góry (wartości \displaystyle y bardzo szybko się zwiększają).

W przypadku ogólnie zapisanej postaci tej funkcji czyli  \displaystyle y = a ^{x}   , wartość  \displaystyle a   nazywamy podstawą tej funkcji. Generalnie  a \neq 1 , ponieważ inaczej byłaby to funkcja stała.

2.  Logarytmy − czyli jak radzić sobie, gdy  jest w potędze ?

Zauważ, że rozwiązanie równania (obliczenie x) w przypadku funkcji wykładniczej jest trudne. Oczywiście z równaniem w stylu :   \displaystyle 3^{x} = 81 \implies x = 4  nie ma żadnego problemu, ale jak rozwiązać równanie :  \displaystyle 3^{x} = 75   ?

Odpowiedzią są logarytmy. W chemii używamy głównie dwóch logarytmów : naturalnego (symbol  ln) oraz dziesiętnego (symbol log), a na maturze będzie tylko jeden, czyli dziesiętny.

Logarytmy powstały po to, aby z bardzo dużych liczb (np.  \displaystyle 10^{13} ) lub bardzo małych liczb (\displaystyle 10^{-13} ) zrobić liczby dużo mniejsze, można by powiedzieć – wygodniejsze w użyciu i mowie. Obliczmy logarytmy z obu tych liczb. W tym celu korzystasz z tablic maturalnych (lub jak cywilizowany człowiek klikasz w kalkulatorze) :  ln lub log , a następnie wpisujesz liczbę, którą chcesz obliczyć, a potem oczywiście wciskasz znak równości.   

  • \displaystyle log \ 10^{13} = 13
  • \displaystyle log \ 10^{-13} = - 13

Widzimy zatem, że jeśli trzeba obliczyć logarytm (czy to dziesiętny czy naturalny) z dowolnej liczby to jest to bardzo przyjemna czynność – wystarczy to wprowadzić do kalkulatora i niczym nie musimy się martwić. Pochylimy się teraz nieco dokładniej nad definicją logarytmu :

log_{a} \ b = c  \iff a^{c} =  b

Powyższe czytamy następująco :  logarytm o podstawie  \displaystyle a   z liczby  \displaystyle b   jest równe  \displaystyle c   . Wówczas spełniona jest równość, że  \displaystyle a   podniesione do potęgi  \displaystyle c   wynosi  \displaystyle b .

Skoro np.  2^{3} = 8   to można by napisać, że  log_{2} \ 8 = 3

W chemii na szczęście będziemy używać tylko dwóch logarytmów : dziesiętnego (to znaczy o podstawie równej  \displaystyle a = 10 ) oraz naturalnego .

log \ x  = 5  \implies x = 10^{5} = 100000

Spróbuj wpisać do kalkulatora logarytm z ujemnej liczby − co się wydarzyło i dlaczego?

Niektóre właściwości są do ogarnięcia samemu, jeśli masz kalkulator!

3.  Własności logarytmów

Stosunkowo często spotkacie się z przekształceniami wzorów, w których przydadzą się poniższe własności logarytmów. Łatwo te zależności udowodnić i pewnie będzie to robić w szkole na matmie w swoim czasie. Możesz także spróbować samemu.

\displaystyle (1) \ : \ \ \ log \ x + log \ y = log \ (x \cdot y)

(2) \ : \ \ \ log \ x - log \ y = log \ \Big ( \frac{x}{y} \Big) 

\displaystyle (3) \ : \ \ \ log \ x^{a} = a \ log \ x

Przykładowo :

(1) \ : \ \ \ log \ 7 + log \ 4= log \ 28

(2) \ : \ \ \ log \ 7 - log \ 4= log \ 1,75

(3) \ : \ \ \ log \ x^{3} = 3 \ log \ x


Wzór na pH :   pH = -log \ [H^{+}]

Zadanie :  Oblicz stężenie jonów wodorowych w roztworze o pH równym 4,8.

pH = -log \ [H^{+}]    czyli  4,8= -log \ [H^{+}]

-4,8= log \ [H^{+}] \implies [H^{+}]  = 10^{-4,8}

W takim razie :    [H^{+}] = 1,58 \cdot 10^{-5}

Zadanie :  Korzystając z wyrażenia na iloczyn jonowy wody udowodnij równość  pH + pOH = 14

[H^{+}] \cdot [OH^{-}] = 10^{-14}

- log \Big ( [H^{+}] \cdot [OH^{-}] \Big ) = - log \Big (  10^{-14} \Big )

- \Big ( log \ [H^{+}] + log \ [OH^{-}] \Big ) = 14

-  log \ [H^{+}] + (- log \ [OH^{-}] ) = 14

Wiemy, że pH = -log \ [H^{+}]   oraz analogicznie pOH = -log \ [OH^{-}]   , zatem :

pH + pH = 14

Zadanie :  Wyprowadź równanie Hendersona-Hasselbalcha, czyli tak zwany wzór na bufor.

Rozwiązanie : Weźmy przykładowy bufor składający się z kwasu HF oraz NaF odpowiednio o stężeniach  \displaystyle c_{k}   oraz  \displaystyle c_{z}

HF \rightleftarrows H^{+} + F^{-}             \displaystyle K_{a} = \frac{[H^{+}] [F^{-}] }{[HF }

Przekształcam powyższe wyrażenie, aby otrzymać wzór na stężenie jonów wodorowych, aby ostatecznie uzyskać wzór na pH.

[H^{+}] = K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] }

- log  [H^{+}] = - log \ \Bigg (  K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg )

pH = -  \Bigg ( log \ K_{a} + log \Bigg (  \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg )  \Bigg )

pH = - log \ K_{a} - log \Bigg (  \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg ) 

Wprowadzimy teraz kolejną, bardzo prostą własność logarytmów :

(5) \ : \ \ \ log \ \frac{x}{y} = - \ log \ \frac{y}{x} 

pH = - log \ K_{a} + log \Bigg (  \frac{[F^{-}] }{ [HF]}  \Bigg ) 

Wprowadzając oznaczenia stężeń podane na początku oraz zauważając, że  \   - log \ K_{a} = pK_{a}   otrzymujemy ostatecznie żądane równanie :

pH = pK_{a} + log \Big (  \frac{c_{z} }{ c_{k} }  \Big )

Jest jeszcze oczywiście wiele innych wzorów, w których pojawiają się logarytmy. Ten artykuł rozrósł się już do sporych rozmiarów, zatem trzeba będzie go podzielić. Następnym razem zajmiemy się jednak sporządzaniem wykresów liniowych, zatem będziemy przekształcać równania chemiczne w zlogarytmowaną postać, aby uzyskać funkcję o postaci y = ax + b .

Leave a Reply

%d bloggers like this: