Czas półtrwania

1. Czas półtrwania – fajna definicja?

Czas półtrwania (także czas/okres połowicznego rozpadu) to mega intuicyjne pojęcie, takie z kategorii tych przyjemnych. Serio.

Wyobraź sobie, że połykasz tabletkę ibupromu. Chcesz wiedzieć, po jakim czasie połowa tej tabletki się ,,rozpadnie (ulegnie zmetabolizowaniu przez nasz organizm)”. To właśnie jest czas półtrwania. Jak się domyślasz, będzie on różny dla każdej substancji i nie inaczej jest tutaj. Każdy nuklid też będzie miał swój własny, charakterystyczny czas półtrwania, który ma symbol t 1/2 .

Pokazuje to poniższy wykres dla jakiegoś nuklidu, którego na początku było milion atomów. Załóżmy, że czas półtrwania wynosi jedną minutę, co oznacza że po tej jednej minucie zostanie połowa tego, co było na początku. A zatem po minucie zostało nam pół miliona, po kolejnej minucie (a więc łącznie dwóch minutach) mamy już ćwierć miliona i tak dalej.

Czas półtrwania zobrazowany na wykresie.

Charakterystyczne też dla tego wykresu jest to, że on tak naprawdę  nigdy nie dojdzie do zera tak naprawdę, bo nieważne ile razy podzielisz na pół i tak nigdy nie dolecisz do zera prawda? Aczkolwiek po iluś tam takich okresach będziemy mieć już do czynienia z ilościami homeopatycznymi.

2. Do czasu półtrwania możesz wplątać masy, atomy, stężenia, ciśnienia…

Możemy właściwie powiedzieć, że czas półtrwania to taki okres czasu, w trakcie którego połowa próbki zniknie. Jeśli zatem wyjściowo tej próbki było 50 g, to zostało 25 g. Jeśli stężenie na początku wynosiło 0,04 mol・dmー3 to teraz wynosi 0,02 mol・dmー3 .  Jeśli na początku mieliśmy 1500 atomów, to po tym czasie półtrwania zostało ich 750. Jeśli ciśnienie próbki wynosiło 320 hPa, to teraz wynosi 160 hPa.

Skąd to się bierze[1] ?

3. Zadania obliczeniowe związane z czasem półtrwania są zbyt łatwe i bardzo Was ograniczają

Bardzo denerwują mnie te zadania, ponieważ są uwłaczająco dla Was proste. Zacznijmy na razie faktycznie od czegoś łatwego, aby w ogóle zobaczyć na czym te zadania mogą się opierać.

Zadanie 1 − W próbce o masie 10 g znajduje się pierwiastek promieniotwórczy, którego okres półtrwania wynosi 5 dni. Oblicz masę tego pierwiastka po 20 dniach.

Rozwiązanie:

Minęło łącznie 20 dni, co stanowi łącznie cztery okresy półtrwania (doszedłem do tego wykonując następującą, hardkorową kalkulację 20 : 5 = 4). W takim razie wystarczy początkowe 10 g cztery razy (czterokrotnie) podzielić na pół. A więc jedziemy :

10 : 2 : 2 : 2 : 2 = 10 : 24 = 0,625 g

Funkcjonuje też ,,sposób rozwiązania[2]” : 10 ⟶ 5 ⟶ 2,5 ⟶ 1,25 ⟶ 0,625 g

Zadanie 2 – Próbka polonu \displaystyle ^{209}_{84}Po   ulega przemianie alfa z okresem połowicznego rozpadu równym 102 lata. Oblicz ile czasu musi upłynąć, aby z 2 g  \displaystyle ^{209}_{84}Po pozostało 250 mg tego pierwiastka. Napisz schemat opisanej przemiany alfa.

Rozwiązanie :

Zadanie sprowadza się zatem do pytania : ile razy muszę podzielić dwa na pół, aby otrzymać 0,25 g (zamieniłem miligramy na gramy)? Dla mających matematyczne zacięcie może się to sprowadzić do równania 2 : 2x = 0,25 ⇒ x = 3

Skoro jeden czas półtrwania wynosi 102 lata, a muszą minąć trzy takie, to potrzeba łącznie 3 • 102 = 306 lat

\displaystyle ^{209}_{84}Po \rightarrow  ^{205}_{82}Pb +  ^{4}_{2} \alpha

Przyznaj obiektywnie, że nie są to trudne zadania. No dobrze, ale wracając do nurtującego Ciebie pewnie pytania − czemu są to zadania dla Was uwłaczające? No bo jak sobie poradzicie z tymi zadaniami :

Zadanie A – Czas półtrwania dla pierwiastka X wynosi 12,3 dnia. Oblicz po jakim czasie z próbki o masie 10 g zostanie 6,7 g.

Zadanie B – Masa próbki zmalała z 20 g do 13 g w czasie 420 sekund. Jaki jest czas półtrwania tej próbki?

I widzisz, pozamiatane[3]. To tak jakby nauczyli Was dodawać, ale tylko na parzystych liczbach. I tylko do siedemdziesięciu. No tak jakby…yyy, nie zostały pokryte wszystkie przypadki.

4. Czas półtrwania i odczytywanie z wykresu

Wróćmy do naszego początkowego wykresu. Dodatkowe zadanie, na które jeszcze mogliby sobie pozwolić autorzy to podrzucenie Wam takiego wykresu, z którego jakiś parametr (masa czy tak jak tutaj liczba atomów) byłby do odczytania. Nie chcę już tutaj dalej ośmieszać tego działu, więc szybko analizujemy dwa scenariusze i lecimy dalej.

Czas półtrwania zobrazowany na wykresie.

Sytuacja numer 1 – odczytaj ilość atomów (czy masę, czy cokolwiek) w dowolnym czasie, np. po 1,5 minutach. Tutaj byłoby to na oko 340 000 .

Sytuacja numer 2 – na podstawie wykresu określ czas półtrwania. Zatem patrzymy po jakim czasie znika połowa próbki (i patrzymy czy sytuacja dalej się powtarza, żeby utwierdzić się w przekonaniu, że to faktycznie jest czas półtrwania). Koniec.


[1] Często zapominamy, że masa, stężenie, ciśnienie to są tak naprawdę jednostki ilości substancji. Im więcej substancji wprowadzimy (więcej atomów/cząsteczek) tym większa będzie jej masa, stężenie czy ciśnienie! Są to wielkości do siebie wprost proporcjonalne. Jeśli np. masa próbki w trakcie okresu półtrwania zmniejszyła się z ze 100 g do 50 g, to jej liczba moli także zmniejszyła się dwa razy. Podobnie udowadnia się to ze stężeniem molowym czy ciśnieniami (tu możemy użyć równania Clapeyrona).

\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1} \cdot M}{n_{2} \cdot M} = \frac{n_{1}}{n_{2}}

[2] Ciekawe jak podchodzą do tego osoby z mat−fizu, czy może jeszcze osoby parające się Olimpiadą Matematyczną. Oczy kłują chyba widząc takie piękne (maturalne!) rozwiązanie…

[3] Kiedy przeglądam stare podręczniki (czyli za czasów gdy ja byłem w 1 liceum, chyba rok 2010) to te przypadki są tam pokryte. Wygląda na to, że się niestety cofamy. A czy nie lepiej by było się cofać z tych gówno przedmiotów, typu WoS, geografia, plastyka, muzyka kosztem wzrostu poziomu przedmiotu, który akurat WAS interesuje i z którego będziecie zdawać maturę? Oczywiście ja nie mam nic akurat do tych przedmiotów, świadczą one w jakiś tam sposób o tak zwanej wiedzy ogólnej (i sam mam ochotę się z nich douczać, ale teraz, gdy już jestem PO szkole), ale jest to coś, co można w każdej chwili nadrobić, a zobaczycie że po studiach i tak już nic z tego nie będziecie pamiętać.

Ale do brzegu. Aby to obliczyć, trzeba by się zagłębić nieco w kinetykę reakcji chemicznych, a konkretnie reakcji pierwszego rzędu, jakimi zawsze są rozpady promieniotwórcze. Niestety, ale wymaga to umiejętności z zakresu analizy matematycznej (pochodne, całki). Podrzucę jednak dla ciekawskich świrów wynik tego całego strasznego całkowania – aby to rozwiązać będą potrzebne dwa wzory :

\displaystyle t_{1 \slash 2} = \frac{ ln \ 2 }{k}

\displaystyle ln \ \frac{m_{0}}{m} = kt

Gdzie k jest tak zwaną stałą szybkości, charakterystyczną dla danej reakcji (rozpadu), natomiast m0 oraz m to masa początkowa i masa w danym czasie t (z reguły to, co chcemy obliczyć). Aha, jeszcze niejasny może być symbol ln oznaczający logarytm naturalny. O logarytmach w chemii możesz poczytać tutaj.

Leave a Reply

%d bloggers like this: