Zadania z izotopów

Zapoznaliśmy się już świetnie z izotopami w poprzednim poście. Teraz czas na maturalne, obliczeniowe zadania z izotopów − klasyka gatunku! Jeśli chcesz od razu przejść do soczystej części postu, czyli obliczeń to przewiń do punktu 2.

1. Jak podchodzisz do procentów?

No nie mów, że ze mną się nie napijesz ? Nie no, nie o te procenty mi chodziło!

Zacznijmy od tego, że nie ma lepszej czy gorszej metody rozwiązywania zadań, a narzucanie swojego toku rozwiązania to jeden z najcięższych grzechów nauczycieli.

Ja osobiście nigdy nie używam procentów w obliczeniach. Już śpieszę z wyjaśnieniem dlaczego. Jeśli chcesz policzyć czterdzieści procent ze 100 , to nie liczysz tego 40 • 100  tylko  0,4 • 100. Ja dlatego od razu automatycznie zamieniam procenty na ułamki. Każdy procent to dla mnie matematyczna przeszkoda, którą w ten sposób usuwam. Bo zastanów się, po co tak naprawdę powstały procenty?

Po to, żeby np. powiedzieć − zjadłem 40% pizzy, zamiast ,,zjadłem 0,4 pizzy”. Po prostu procenty są bardziej obrazowe, ale pod kątem matematycznym dla mnie niewygodne. Aczkolwiek zobacz, że jest jedna wąska dziedzina życia, gdzie taki zapis ma sens. Na przykład : ,, na 18−stce u Agnieszki wypiłem całą 0,7″.

Wiem jednak, że przytłaczająca część z Was lepiej czuje się jednak z procentami, dlatego będę równolegle pokazywał dwie drogi obliczeń. A Wy wybierzecie taką, która Wam najbardziej odpowiada, czyli tak jak powinno być − bez żadnego narzucania.

2. Obliczanie zawartości procentowych izotopów

To najprostszy rodzaj zadania. Załóżmy, że chlor występuje w postaci dwóch izotopów : chloru−35 oraz chloru−37. Oblicz ich zawartości procentowe.

Od razu założymy sobie, że zawartość procentowa chloru−35 wynosi x , natomiast chloru−37 wynosi y. Z układu okresowego odczytujemy średnią masę chloru równą 35,5.

Z procentami

\displaystyle \begin{cases} 35,5 = \frac{35x + 37y}{100}  \\\\ x + y = 100 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 75 \%  \\\\ y = 25 \% \end{cases}

lub od razu :

\displaystyle 35,5 = \frac{35x + 37(100 - x)}{100} \implies x = 75 \%

Bez procentów

\displaystyle \begin{cases} 35,5 = 35x + 37y \\\\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0,75 = 75 \% \\\\ y = 0,25 =  25 \% \end{cases}

lub od razu :

\displaystyle 35,5 =  35x + 37(1 - x) \implies x = 0,75 = 75 \%

No to co, jeszcze jeden przykład? Oblicz zawartości procentowe dla litu, wiedząc że jego stabilne izotopy to lit−6 oraz lit−7.

Z procentami

\displaystyle \begin{cases} 6,94 = \frac{6x + 7y}{100}  \\\\ x + y = 100 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 6 \%  \\\\ y = 94 \% \end{cases}

lub od razu :

\displaystyle 6,94 = \frac{6x + 7(100 - x)}{100} \implies x = 6 \%

Bez procentów

\displaystyle \begin{cases} 6,94 = 6x + 7y \\\\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0,06 = 6 \% \\\\ y = 0,94 =  94 \% \end{cases}

lub od razu :

\displaystyle 6,94 =  6x + 7(1 - x) \implies x = 0,06 = 6 \%

3. Obliczanie średniej masy atomowej

W sumie jednak się w poprzednim akapicie pomyliłem i chyba to jest najprostszy rodzaj zadania.

Magnez występuje w przyrodzie w postaci mieszaniny trzech izotopów o masach atomowych równych 23,99 u[1] (78,99%) , 24,99 u (10%) oraz 25,98 u (11,01%). Oblicz średnią masę atomową magnezu. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Z procentami

\displaystyle M = \frac{23,99 \cdot 78,99 + 24,99 \cdot 10 + 25,98 \cdot 11,01}{100}  \implies M = 24,31

Bez procentów

M = 23,99 \cdot 0,7899 + 24,99 \cdot 0,1 + 25,98 \cdot 0,1101 \implies M = 24,31

4. Inne zadania związane z izotopami

Niektóre jądra są niestabilne i ulegają rozpadowi promieniotwórczemu (o czym możesz także poczytać tutaj). Okazało się, że stosunek liczby neutronów do liczby protonów jest skorelowany ze stabilnością danego jądra. Oblicz ten stosunek dla 144Sm , 56Fe oraz 238U.

Rozwiązanie :

Zadanie tak naprawdę polega tylko na ustaleniu liczby neutronów, która wynosi odpowiednio 82 , 30 oraz 146. Szukany stosunek będzie w takim równy :

Dla samaru 82/62 = 1,3 ; dla żelaza 30/26 = 1,15 ; dla uranu 149/92 = 1,6


[1] Tutaj mogłyby się pojawić dwa pytania. Czym są właściwie te unity (skrót u) oraz dlaczego masa izotopów nie jest całkowita – przecież to wygląda tak, jakby tam był jakiś ułamek protonu czy neutronu, a to przecież niemożliwe.

Jeden unit to 1/12 masy węgla-12. Jest ona bezpośrednio powiązana ze stałą Avogadro, która pojawiła się tutaj (link). Jest to właśnie jej odwrotność :

\displaystyle 1 \ u = \frac{1}{6,02 \cdot 10^{23}} = 1,66 \cdot 10^{-24}

\displaystyle 1 g = 6,02 \cdot 10^{23} \ u

A teraz dlaczego masy izotopów nie są całkowite? Bo to, że średnie masy (czyli te pokazane w układzie okresowym) nie są całkowite to jest logiczne, gdyż są one średnimi wartościami. Wyjaśnienie okazuje się całkiem proste. My w przybliżeniu zakładamy, że masa neutronu i protonu wynoszą jeden unit, a to jest przybliżenie. W rzeczywistości :

masa neutronumasa protonu
1,00866 u1,00727 u
Masa protonu i neutronu nie są sobie dokładnie równe, a także nie są one równe dokładnie jednemu unitowi, ale trochę ponad to.

Leave a Reply

%d bloggers like this: