Równania kwadratowe na maturze z chemii

1. Co to jest równanie kwadratowe ?

To jest takie równanie, w którym nasza niewiadoma jest podniesiona do potęgi drugiej (do kwadratu). A więc nawet takie proste równanie :

x2 = 4

Wydawałoby się, że jest to mega banalne i po co w ogóle o tym osobno pisać. Jednak gdy proszę kogoś o rozwiązanie tego równania, to około 40% osób nie wie, że są tutaj dwa poprawne rozwiązania! Przecież x = 2 ale także x = − 2 . Często oznaczamy to jako x1 = 2 oraz x2 = −2.

No dobrze, to jak już to wiemy, to wydaje nam się, że damy radę. Taki jesteś chojrak? To spróbuj rozwiązać to :

4x2 − 7x = 5

2. Gdzie na maturze z chemii mogą się pojawić równania kwadratowe ?

➦ W zadaniach dotyczących równowagi chemicznej , czyli tam gdzie się pojawia stała równowagi (K).

➦ W zadaniach dotyczących pH, czyli też de facto w zadania z zakresu równowagi chemicznej.

3. Jak rozwiązywać równania kwadratowe ?

Bierzemy równanie kwadratowe sprzed chwili :

\displaystyle 4x^{2} - 7x = 5

Generalnie, chcielibyśmy aby wszystkie niewiadome oraz liczby mieć po jednej stronie równania, tak żeby po drugiej stronie zostało nam samo zero.

\displaystyle 4x^{2} - 7x - 5 = 0

W rzeczywistości dążymy do zapisu, który nazywa się postacią ogólną równania kwadratowego, co wygląda następująco :

\displaystyle ax^{2} + bx + c = 0

Iks (x) to nasza niewiadoma, którą chcemy obliczyć, może to być liczba moli, stężenie, ciśnienie i cokolwiek innego. Dla nas kluczowa jest umiejętność przekształcenia dowolnego równania, w którym pojawi się \displaystyle x^{2} właśnie do takiej postaci, a wszystko po to, aby ustalić ile wynoszą parametry \displaystyle a \ , b \ , \ c , bo to właśnie je będziemy potem wrzucać do kalkulatora. W naszym równaniu parametry te wynoszą

  • \displaystyle a = 4
  • \displaystyle b = -7
  • \displaystyle c = -5

Typowy błąd to zapominanie o minusach przy wartościach parametrów \displaystyle a \ , b \ , \ c , zatem uważajcie na to!

W szkole, na matematyce będziecie dalej uczyli się na pamięć sławnego wzoru na deltę oraz na dwa możliwe rozwiązania (czyli wspomniane wcześniej \displaystyle x_{1}   oraz  x_{2}   . Łącznie zatem są do zapamiętania trzy wzory :

\displaystyle \Delta = b^{2} - 4ac

\displaystyle x_{1} = \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a}

\displaystyle x_{2} = \frac{-b - \sqrt{ \Delta}}{2a}

Warto dodać, że ta sławna delta to tylko ,,skrót” , który rozbija dla Was rozwiązywanie równań kwadratowych na dwa etapy : 1) najpierw policz deltę, 2) a potem iksa. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby ustalić jeden wzór :

\displaystyle x_{1 \slash 2} = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac}}{2a}

Skąd się bierze wzór na deltę oraz powyższy wzór na obliczenie wartości niewiadomej iks? Wykracza to poza temat tego posta, który ma być typowo praktyczny pod maturę – można jednak odpowiedź znaleźć tutaj : (wikipedia) Funkcja_kwadratowa . Ja osobiście starałem się to wyprowadzić samemu na nieco nudniejszych lekcjach (chociaż z niepowodzeniem).

Jeśli jednak dopiero zaczynasz przygodę z równaniami kwadratowymi to warto chociaż parę razy pomęczyć się z tymi wzorami [1] (i tak będziesz ich używał namiętnie na matmie). Wróćmy do naszego równania :

\displaystyle 4x^{2} - 7x - 5 = 0

  • \displaystyle a = 4
  • \displaystyle b = -7
  • \displaystyle c = -5

Podstawiamy do wzoru na deltę :

\displaystyle \Delta = b^{2} - 4ac = (-7)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-5) \implies \Delta = 129

Następnie wyliczamy x1

\displaystyle x_{1} = \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{129}}{2 \cdot 4} \implies x_{1} = 2,295

Analogicznie wyliczamy x2

\displaystyle x_{2} = \frac{-b - \sqrt{ \Delta}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{129}}{2 \cdot 4} \implies x_{1} = -0,545

4. Dwa rozwiązania równania kwadratowego, a sens chemiczny/fizyczny

Jak widzisz, równanie kwadratowe może (nie musi[2]) mieć dwa rozwiązania. Bardzo często jedno z rozwiązań będzie dodatnie, a drugi iks będzie ujemny. Jako, że z reguły będziemy wyliczać liczbę moli, stężenie czy ciśnienia, to są to wszystko wartości, które nie mogą być ujemne – w rozwiązaniu ładnie byśmy napisali, że takie rozwiązania nie mają sensu fizycznego (nie kupisz w sklepie minus pół kilo mięsa).

Ale da się też tak dobrać dane liczbowe (co właśnie autorzy zadań będą wykorzystywać przeciwko Wam), żeby oba rozwiązania były dodatnie i pozornie miały sens.

Jeśli tak się wydarzy, to spokojnie, parę oddechów. Nigdy, pamiętaj, nie może być sytuacji, że reakcja może się potoczyć na jakieś dwa różne sposoby, czyli że raz powstanie mi 0,9 mola wody, a drugi raz 4,43 mola. To nie loteria, to jest nauka! Musisz wtedy popatrzeć na całe zadanie i okaże się, że tylko jeden wynik jest możliwy (zawsze wtedy właśnie szukamy sytuacji, że jednego reagenta np. po reakcji byłaby ujemna liczba). Ciężko to wyjaśnić bez konkretnego przykładu, więc zapraszam tutaj.

5. Egzaminatorzy go nienawidzą – oszukał równania kwadratowe, czyli jeden trik, o którym warto wiedzieć

Widząc cokolwiek do kwadratu, po pewnym czasie z dużym prawdopodobieństwem wyrobi się u Was taki nawyk, naparzania równania kwadratowego i automatyczne liczenie delty itd. Ale co, jeśli czasem da się to zrobić szybciej?

Oto jedno z równań kwadratowych, które pojawiło się na maturze :

2014 maj – poziom rozszerzony (zadanie 32 – fragment rozwiązania)

Wystarczy… po prostu obustronnie spierwiastkować. Mam wrażenie, że jesteśmy troszkę upośledzani przez nauczycieli matmy, bo większość osób ma przeświadczenie, że takich rzeczy nie wolno robić. Stronami to przecież można tylko mnożyć, a może dzielić jeszcze…

Tylko jedna ważna uwaga : to tak samo jakbyśmy chcieli spierwiastkować nasze początkowe, bardzo proste równanie :

\displaystyle x^{2} = 4 \ \ \ \sqrt{}

Trzeba tutaj też uwzględnić dwie możliwości, bo przecież zarówno dwa jak i minus dwa podniesione do kwadratu da cztery!

\displaystyle x = 2

\displaystyle x = - 2

Tak samo z naszym równaniem :

\displaystyle \frac{x^{2}}{(1 - x)^{2}} = 4 \ \ \ \sqrt{}

\displaystyle \frac{x}{1 - x} = 2

\displaystyle x_{1} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{x}{1 - x} = - 2

\displaystyle x_{2} = 2

I zobacz, że jest to chyba znacznie przyjemniejsze, co?

Oczywiście nie zawsze to da radę, tutaj np. tego nie zrobimy, bo nie spierwiastkujemy nawiasów (1 − x) oraz (3 − x).

2018 czerwiec – poziom rozszerzony (zadanie 9, fragment rozwiązania)

[1] Muszę przyznać, że nie liczyłem równania kwadratowego na wzorach jakieś 8 lat. Jest to żmudne podstawianie do wzorów, które są nikomu niepotrzebne. To jest coś, co robią za nas kalkulatory i za to bardzo lubię Olimpiadę Chemiczną, bo tam normalnie na zawody bierzecie taki kalkulator, który robi to za Was. Tutaj akurat nie macie aż tak źle, bo typowe równania kwadratowe nie wyglądają tak pięknie jak na maturze :

4x2 − 7x − 5 = 0

tylko bardziej tak :

(4 • 10ー6 ) x2 − (10ー4,2) x − 0,0039= 0

Weź sobie teraz policz deltę oraz iksy – już nie tak fajnie, prawda ?

[2] Zależy to od wartości delty. Jeśli Δ < 0 to nie będzie żadnych rozwiązań, jeśli natomiast Δ = 0 to będziemy mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Wyżej mieliśmy sytuacje, w której Δ > 0 i wtedy właśnie są dwa rozwiązania.

Leave a Reply

%d bloggers like this: