0. Logarytmy w chemii
Wiem, że dużo osób ma problem z logarytmami (sam też go miałem), ponieważ zabieramy się za nie bardzo często zanim jeszcze pojawią się one w szkole na lekcjach matmy. Wychodzi wtedy na to, że uczymy się ich na pamięć na zasadzie : skoro pH wynosi 10, to stężenie jonów wodorowych wynosi $latex \displaystyle [H^{+}] = 10^{-10} $ . Wszystko to jednak potem się robi takie intuicyjne i w głębi duszy wiemy, że nie bardzo rozumiemy temat i po to właśnie jest ten artykuł. Oczywiście całość jest zrobiona pod kątem chemicznym, dlatego też będziemy działać na wzorach, które pojawiają się w chemii.
Jest to temat dodatkowy, przerabiaj go tylko jeśli masz na to ochotę. Kiedy w następnym poście poznamy definicję pH, to tam pokażę jak korzystać z tablic maturalnych i obliczać logarytmy w chemii.
1. Funkcja wykładnicza
Zanim zaczniemy logarytmy, przypomnimy sobie funkcję wykładniczą. Pewnie w codziennym życiu spotkaliście się już ze sformułowaniem ,,wzrost wykładniczy” , a to nawet przy okazji tempa rozprzestrzeniania się koronawirusa. Takie określenie oznacza po prostu bardzo szybki (gwałtowny) wzrost.
Rozpatrzmy proces rozpadu promieniotwórczego uranu-235. Każdy taki rozpad jest związany w emitowaniem (tworzeniem) trzech neutronów. Zobaczmy jak szybko rośnie liczba neutronów. Tak, rośnie ona wykładniczo.
Zatem liczba neutronów wynosi 1, 3, następnie 9. Nietrudno ustalić, że następną liczbą w takim szeregu byłoby 27, potem 81 i tak dalej. Możemy to wyrazić za pomocą funkcji wykładniczej :
$latex \displaystyle y = a ^{x} $ w naszym przypadku : $latex \displaystyle y = 3^{x} $
Zwróćmy uwagę na kilka cech charakterystycznych tego wykresu :
- wykres przechodzi przez punkt (0,1) , ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi jeden. W naszym przypadku : $latex \displaystyle 3^{0} = 1) $
- wartości $latex \displaystyle y $ są małe oraz dodatnie jeśli $latex \displaystyle x < 0 $ , np. $latex \displaystyle 3^{-3} = 0,037 $
- wartości $latex \displaystyle y $ są duże oraz dodatnie jeśli $latex \displaystyle x >0 $ , np. $latex \displaystyle 3^{3} = 27 $
- w pewnym momencie wykres funkcji idzie mocno do góry (wartości $latex \displaystyle y $ bardzo szybko się zwiększają).
W przypadku ogólnie zapisanej postaci tej funkcji czyli $latex \displaystyle y = a ^{x} $ , wartość $latex \displaystyle a $ nazywamy podstawą tej funkcji. Generalnie $latex a \neq 1 $ , ponieważ inaczej byłaby to funkcja stała.
2. Logarytmy − czyli jak radzić sobie, gdy x jest w potędze ?
Zauważ, że rozwiązanie równania (obliczenie x) w przypadku funkcji wykładniczej jest trudne. Oczywiście z równaniem w stylu : $latex \displaystyle 3^{x} = 81 \implies x = 4$ nie ma żadnego problemu, ale jak rozwiązać równanie : $latex \displaystyle 3^{x} = 75 $ ?
Odpowiedzią są logarytmy. W chemii używamy głównie dwóch logarytmów : naturalnego (symbol ln) oraz dziesiętnego (symbol log), a na maturze będzie tylko jeden, czyli dziesiętny.
Logarytmy powstały po to, aby z bardzo dużych liczb (np. $latex \displaystyle 10^{13} $ ) lub bardzo małych liczb ($latex \displaystyle 10^{-13} $) zrobić liczby dużo mniejsze, można by powiedzieć – wygodniejsze w użyciu i mowie. Obliczmy logarytmy z obu tych liczb. W tym celu korzystasz z tablic maturalnych (lub jak cywilizowany człowiek klikasz w kalkulatorze) : ln lub log , a następnie wpisujesz liczbę, którą chcesz obliczyć, a potem oczywiście wciskasz znak równości.
- $latex \displaystyle log \ 10^{13} = 13 $
- $latex \displaystyle log \ 10^{-13} = – 13 $
Widzimy zatem, że jeśli trzeba obliczyć logarytm (czy to dziesiętny czy naturalny) z dowolnej liczby to jest to bardzo przyjemna czynność – wystarczy to wprowadzić do kalkulatora i niczym nie musimy się martwić. Pochylimy się teraz nieco dokładniej nad definicją logarytmu :
$latex log_{a} \ b = c \iff a^{c} = b $
Powyższe czytamy następująco : logarytm o podstawie $latex \displaystyle a $ z liczby $latex \displaystyle b $ jest równe $latex \displaystyle c $ . Wówczas spełniona jest równość, że $latex \displaystyle a $ podniesione do potęgi $latex \displaystyle c $ wynosi $latex \displaystyle b $.
Skoro np. $latex 2^{3} = 8 $ to można by napisać, że $latex log_{2} \ 8 = 3 $
W chemii na szczęście będziemy używać tylko dwóch logarytmów : dziesiętnego (to znaczy o podstawie równej $latex \displaystyle a = 10 $) oraz naturalnego .
$latex log \ x = 5 \implies x = 10^{5} = 100000 $
Spróbuj wpisać do kalkulatora logarytm z ujemnej liczby − co się wydarzyło i dlaczego?
Niektóre właściwości są do ogarnięcia samemu, jeśli masz kalkulator!
3. Własności logarytmów
Stosunkowo często spotkacie się z przekształceniami wzorów, w których przydadzą się poniższe własności logarytmów. Łatwo te zależności udowodnić i pewnie będzie to robić w szkole na matmie w swoim czasie. Możesz także spróbować samemu.
$latex \displaystyle (1) \ : \ \ \ log \ x + log \ y = log \ (x \cdot y) $
$latex (2) \ : \ \ \ log \ x – log \ y = log \ \Big ( \frac{x}{y} \Big) $
$latex \displaystyle (3) \ : \ \ \ log \ x^{a} = a \ log \ x $
Przykładowo :
$latex (1) \ : \ \ \ log \ 7 + log \ 4= log \ 28 $
$latex (2) \ : \ \ \ log \ 7 – log \ 4= log \ 1,75 $
$latex (3) \ : \ \ \ log \ x^{3} = 3 \ log \ x $
Wzór na pH : $latex pH = -log \ [H^{+}] $
Zadanie : Oblicz stężenie jonów wodorowych w roztworze o pH równym 4,8.
$latex pH = -log \ [H^{+}] $ czyli $latex 4,8= -log \ [H^{+}] $
$latex -4,8= log \ [H^{+}] \implies [H^{+}] = 10^{-4,8} $
W takim razie : $latex [H^{+}] = 1,58 \cdot 10^{-5} $
Zadanie : Korzystając z wyrażenia na iloczyn jonowy wody udowodnij równość $latex pH + pOH = 14 $
$latex [H^{+}] \cdot [OH^{-}] = 10^{-14} $
$latex – log \Big ( [H^{+}] \cdot [OH^{-}] \Big ) = – log \Big ( 10^{-14} \Big ) $
$latex – \Big ( log \ [H^{+}] + log \ [OH^{-}] \Big ) = 14 $
$latex – log \ [H^{+}] + (- log \ [OH^{-}] ) = 14 $
Wiemy, że $latex pH = -log \ [H^{+}] $ oraz analogicznie $latex pOH = -log \ [OH^{-}] $ , zatem :
$latex pH + pH = 14 $
Zadanie : Wyprowadź równanie Hendersona-Hasselbalcha, czyli tak zwany wzór na bufor.
Rozwiązanie : Weźmy przykładowy bufor składający się z kwasu HF oraz NaF odpowiednio o stężeniach $latex \displaystyle c_{k} $ oraz $latex \displaystyle c_{z} $
$latex HF \rightleftarrows H^{+} + F^{-} $ $latex \displaystyle K_{a} = \frac{[H^{+}] [F^{-}] }{[HF } $
Przekształcam powyższe wyrażenie, aby otrzymać wzór na stężenie jonów wodorowych, aby ostatecznie uzyskać wzór na pH.
$latex [H^{+}] = K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] } $
$latex – log [H^{+}] = – log \ \Bigg ( K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg ) $
$latex pH = – \Bigg ( log \ K_{a} + log \Bigg ( \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg ) \Bigg ) $
$latex pH = – log \ K_{a} – log \Bigg ( \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg ) $
Wprowadzimy teraz kolejną, bardzo prostą własność logarytmów :
$latex (5) \ : \ \ \ log \ \frac{x}{y} = – \ log \ \frac{y}{x} $
$latex pH = – log \ K_{a} + log \Bigg ( \frac{[F^{-}] }{ [HF]} \Bigg ) $
Wprowadzając oznaczenia stężeń podane na początku oraz zauważając, że $latex \ – log \ K_{a} = pK_{a} $ otrzymujemy ostatecznie żądane równanie :
$latex pH = pK_{a} + log \Big ( \frac{c_{z} }{ c_{k} } \Big ) $
Jest jeszcze oczywiście wiele innych wzorów, w których pojawiają się logarytmy. Ten artykuł rozrósł się już do sporych rozmiarów, zatem trzeba będzie go podzielić. Następnym razem zajmiemy się jednak sporządzaniem wykresów liniowych, zatem będziemy przekształcać równania chemiczne w zlogarytmowaną postać, aby uzyskać funkcję o postaci y = ax + b .