Logarytmy w chemii

Chemia fizyczna i analityczna, Reakcje w roztworach wodnych

0. Logarytmy w chemii

Wiem, że dużo osób ma problem z logarytmami (sam też go miałem), ponieważ zabieramy się za nie bardzo często zanim jeszcze pojawią się one w szkole na lekcjach matmy. Wychodzi wtedy na to, że uczymy się ich na pamięć na zasadzie : skoro pH wynosi 10, to stężenie jonów wodorowych wynosi $\displaystyle [H^{+}] = 10^{-10}$ . Wszystko to jednak potem się robi takie intuicyjne i w głębi duszy wiemy, że nie bardzo rozumiemy temat i po to właśnie jest ten artykuł. Oczywiście całość jest zrobiona pod kątem chemicznym, dlatego też będziemy działać na wzorach, które pojawiają się w chemii.

Jest to temat dodatkowy, przerabiaj go tylko jeśli masz na to ochotę. Kiedy w następnym poście poznamy definicję pH, to tam pokażę jak korzystać z tablic maturalnych i obliczać logarytmy w chemii.

1. Funkcja wykładnicza

Zanim zaczniemy logarytmy, przypomnimy sobie funkcję wykładniczą. Pewnie w codziennym życiu spotkaliście się już ze sformułowaniem ,,wzrost wykładniczy” , a to nawet przy okazji tempa rozprzestrzeniania się koronawirusa. Takie określenie oznacza po prostu bardzo szybki (gwałtowny) wzrost.

Rozpatrzmy proces rozpadu promieniotwórczego uranu-235. Każdy taki rozpad jest związany w emitowaniem (tworzeniem) trzech neutronów. Zobaczmy jak szybko rośnie liczba neutronów. Tak, rośnie ona wykładniczo.

Uran235 logarytmiczny wykładniczy wzrost.jpg — Wykładniczy wzrost

Zatem liczba neutronów wynosi 1, 3, następnie 9. Nietrudno ustalić, że następną liczbą w takim szeregu byłoby 27, potem 81 i tak dalej. Możemy to wyrazić za pomocą funkcji wykładniczej :

$\displaystyle y = a ^{x}$ w naszym przypadku : $\displaystyle y = 3^{x}$

Wykres funkcji wykładniczej 3^x.jpg — Wykres funkcji wykładniczej

Zwróćmy uwagę na kilka cech charakterystycznych tego wykresu :

wykres przechodzi przez punkt (0,1) , ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi jeden. W naszym przypadku : $\displaystyle 3^{0} = 1)$
wartości $\displaystyle y$ są małe oraz dodatnie jeśli $\displaystyle x < 0$ , np. $\displaystyle 3^{-3} = 0,037$
wartości $\displaystyle y$ są duże oraz dodatnie jeśli $\displaystyle x >0$ , np. $\displaystyle 3^{3} = 27$
w pewnym momencie wykres funkcji idzie mocno do góry (wartości $\displaystyle y$ bardzo szybko się zwiększają).

W przypadku ogólnie zapisanej postaci tej funkcji czyli $\displaystyle y = a ^{x}$ , wartość $\displaystyle a$ nazywamy podstawą tej funkcji. Generalnie $a \neq 1$ , ponieważ inaczej byłaby to funkcja stała.

2. Logarytmy − czyli jak radzić sobie, gdy x jest w potędze ?

Zauważ, że rozwiązanie równania (obliczenie x) w przypadku funkcji wykładniczej jest trudne. Oczywiście z równaniem w stylu : $\displaystyle 3^{x} = 81 \implies x = 4$ nie ma żadnego problemu, ale jak rozwiązać równanie : $\displaystyle 3^{x} = 75$ ?

Odpowiedzią są logarytmy. W chemii używamy głównie dwóch logarytmów : naturalnego (symbol ln) oraz dziesiętnego (symbol log), a na maturze będzie tylko jeden, czyli dziesiętny.

Logarytmy powstały po to, aby z bardzo dużych liczb (np. $\displaystyle 10^{13}$ ) lub bardzo małych liczb ( $\displaystyle 10^{-13}$ ) zrobić liczby dużo mniejsze, można by powiedzieć – wygodniejsze w użyciu i mowie. Obliczmy logarytmy z obu tych liczb. W tym celu korzystasz z tablic maturalnych (lub jak cywilizowany człowiek klikasz w kalkulatorze) : ln lub log , a następnie wpisujesz liczbę, którą chcesz obliczyć, a potem oczywiście wciskasz znak równości.

$\displaystyle log \ 10^{13} = 13$
$\displaystyle log \ 10^{-13} = - 13$

Widzimy zatem, że jeśli trzeba obliczyć logarytm (czy to dziesiętny czy naturalny) z dowolnej liczby to jest to bardzo przyjemna czynność – wystarczy to wprowadzić do kalkulatora i niczym nie musimy się martwić. Pochylimy się teraz nieco dokładniej nad definicją logarytmu :

$log_{a} \ b = c \iff a^{c} = b$

Powyższe czytamy następująco : logarytm o podstawie $\displaystyle a$ z liczby $\displaystyle b$ jest równe $\displaystyle c$ . Wówczas spełniona jest równość, że $\displaystyle a$ podniesione do potęgi $\displaystyle c$ wynosi $\displaystyle b$ .

Skoro np. $2^{3} = 8$ to można by napisać, że $log_{2} \ 8 = 3$

W chemii na szczęście będziemy używać tylko dwóch logarytmów : dziesiętnego (to znaczy o podstawie równej $\displaystyle a = 10$ ) oraz naturalnego .

$log \ x = 5 \implies x = 10^{5} = 100000$

Spróbuj wpisać do kalkulatora logarytm z ujemnej liczby − co się wydarzyło i dlaczego?
Niektóre właściwości są do ogarnięcia samemu, jeśli masz kalkulator!

3. Własności logarytmów

Stosunkowo często spotkacie się z przekształceniami wzorów, w których przydadzą się poniższe własności logarytmów. Łatwo te zależności udowodnić i pewnie będzie to robić w szkole na matmie w swoim czasie. Możesz także spróbować samemu.

$\displaystyle (1) \ : \ \ \ log \ x + log \ y = log \ (x \cdot y)$

$(2) \ : \ \ \ log \ x - log \ y = log \ \Big ( \frac{x}{y} \Big)$

$\displaystyle (3) \ : \ \ \ log \ x^{a} = a \ log \ x$

Przykładowo :

$(1) \ : \ \ \ log \ 7 + log \ 4= log \ 28$

$(2) \ : \ \ \ log \ 7 - log \ 4= log \ 1,75$

$(3) \ : \ \ \ log \ x^{3} = 3 \ log \ x$

Wzór na pH : $pH = -log \ [H^{+}]$

Zadanie : Oblicz stężenie jonów wodorowych w roztworze o pH równym 4,8.

$pH = -log \ [H^{+}]$ czyli $4,8= -log \ [H^{+}]$

$-4,8= log \ [H^{+}] \implies [H^{+}] = 10^{-4,8}$

W takim razie : $[H^{+}] = 1,58 \cdot 10^{-5}$

Zadanie : Korzystając z wyrażenia na iloczyn jonowy wody udowodnij równość $pH + pOH = 14$

$[H^{+}] \cdot [OH^{-}] = 10^{-14}$

$- log \Big ( [H^{+}] \cdot [OH^{-}] \Big ) = - log \Big ( 10^{-14} \Big )$

$- \Big ( log \ [H^{+}] + log \ [OH^{-}] \Big ) = 14$

$- log \ [H^{+}] + (- log \ [OH^{-}] ) = 14$

Wiemy, że $pH = -log \ [H^{+}]$ oraz analogicznie $pOH = -log \ [OH^{-}]$ , zatem :

$pH + pH = 14$

Zadanie : Wyprowadź równanie Hendersona-Hasselbalcha, czyli tak zwany wzór na bufor.

Rozwiązanie : Weźmy przykładowy bufor składający się z kwasu HF oraz NaF odpowiednio o stężeniach $\displaystyle c_{k}$ oraz $\displaystyle c_{z}$

$HF \rightleftarrows H^{+} + F^{-}$ $\displaystyle K_{a} = \frac{[H^{+}] [F^{-}] }{[HF }$

Przekształcam powyższe wyrażenie, aby otrzymać wzór na stężenie jonów wodorowych, aby ostatecznie uzyskać wzór na pH.

$[H^{+}] = K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] }$

$- log [H^{+}] = - log \ \Bigg ( K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg )$

$pH = - \Bigg ( log \ K_{a} + log \Bigg ( \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg ) \Bigg )$

$pH = - log \ K_{a} - log \Bigg ( \frac{[HF]}{ [F^{-}] } \Bigg )$

Wprowadzimy teraz kolejną, bardzo prostą własność logarytmów :

$(5) \ : \ \ \ log \ \frac{x}{y} = - \ log \ \frac{y}{x}$

$pH = - log \ K_{a} + log \Bigg ( \frac{[F^{-}] }{ [HF]} \Bigg )$

Wprowadzając oznaczenia stężeń podane na początku oraz zauważając, że $\ - log \ K_{a} = pK_{a}$ otrzymujemy ostatecznie żądane równanie :

$pH = pK_{a} + log \Big ( \frac{c_{z} }{ c_{k} } \Big )$

Jest jeszcze oczywiście wiele innych wzorów, w których pojawiają się logarytmy. Ten artykuł rozrósł się już do sporych rozmiarów, zatem trzeba będzie go podzielić. Następnym razem zajmiemy się jednak sporządzaniem wykresów liniowych, zatem będziemy przekształcać równania chemiczne w zlogarytmowaną postać, aby uzyskać funkcję o postaci y = ax + b .

1 komentarz

Chris 1 rok temu

Bardzo przystępnie napisane. Szczególnie cenne jest to że dany wzór jest objaśniony tekstowo tak jak się go powinno czytać.
Przykładowo: „Powyższe czytamy następująco : logarytm o podstawie a z liczby b jest równe c”
Takie opisy równań są bardzo rzadkie a przez to trudniejsze jest zrozumienie równań. Ja już jestem stary ale coś spowodowało że potrzebowałem odświeżyć wiedzę o logarytmach. I znalazłem to co najlepiej je opisuje. Gratuluję panu! Szkoda że nie ma innych komentarzy. Przecież one zachęcają twórców do kontynuowania i dbania o treść portalu.

Odpowiedz

Dodaj komentarz

Witryna wykorzystuje Akismet, aby ograniczyć spam. Dowiedz się więcej jak przetwarzane są dane komentarzy.